酉矩阵分解¶

酉矩阵分解 (Unitary Decomposition) 算法针对给定的酉矩阵返回对应的量子电路。应用这一方法原则上可以实现对量子态的任意可容许操作，但其电路规模和深度均较高，请斟酌使用。

算法原理¶

算法的基本流程是递归地将待合成电路分解为 qubit 数更少的待合成电路，这一方法多次利用了对应于电路的矩阵 \(U\) 为 \(2^n\) 阶酉矩阵的性质。

Cosine-Sine 分解¶

设有一个 \(2k\) 阶酉矩阵 \(U\) ，则存在 \(k\) 阶酉矩阵 \(A_1, A_2, B_1, B_2\) 和 \(k\) 阶实对角矩阵 \(C, S\) 满足 \(C^2 + S^2 = I\) ，并且

\[ U = \begin{pmatrix} A_1 & \\ & B_1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C & -S \\ S & C \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_2 & \\ & B_2 \\ \end{pmatrix} \]

Cosine-Sine 分解对应的电路分解如下图：

图中空心小方块代表 uniformly 控制，亦即对控制位的全部可能的 \(0, 1\) 情况对作用位执行对应的量子门。空心大方块则代表任意的一个或多个酉矩阵。

量子 Shannon 分解¶

设 \(U_1, U_2\) 是两个 \(k\) 阶酉矩阵，则存在 \(k\) 阶酉矩阵 \(V, W\) 和 \(k\) 阶对角酉矩阵 \(D\) 满足：

\[ \begin{pmatrix} U_1 & \\ & U_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V & \\ & V \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} D & \\ & D^\dagger \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} W & \\ & W \\ \end{pmatrix} \]

注意到在上式中 \(U_1 U_2^\dagger = V D^2 V^\dagger\) 立即给出证明。据此可以进一步分解 Cosine-Sine 分解得到的电路如下图：

综合以上两步分解即得量子 Shannon 分解如下图：

这样就将一个 \(n\) -qubit 酉矩阵分解为 \((n-1)\) -qubit 酉矩阵，如此递归并合成每一部分需要的 uniformly 控制 Ry 和 Rz 门即可将给定的酉矩阵转化为量子电路。

Cartan KAK 分解¶

以上的过程实际上已经在 CNOT 门数量的阶上达到了下界 \(\Omega(4^n)\) ，不过还有一些方法可以优化其常数，这里只介绍相对重要的一个方法，更多细节的优化可以参见^[1]的附录部分。

将量子 Shannon 分解应用于 \(2\) -qubit 酉矩阵可以用 \(6\) 个 CNOT 门对其进行合成，但是利用李代数的 Cartan 分解，实际上 \(SU(4)\) 矩阵只需要 \(3\) 个 CNOT 门即可合成。

对任意 \(U\in SU(4)\) ，存在 \(K_1, K_2, K_3, K_4\in SU(2)\) 和 \(\vec{k}\in \mathbb{R}^3\) 满足：

\[ U = (K_1 \otimes K_2) \exp(i\vec{k}\cdot\vec{\Sigma}) (K_3 \otimes K_4) \]

其中 \(\vec{\Sigma} = (\sigma_{XX}, \sigma_{YY}, \sigma_{ZZ})\) 。这样得到的 \(K_1, K_2, K_3, K_4\) 是 \(4\) 个 1-qubit 门，而 \(\exp(i\vec{k}\cdot\vec{\Sigma})\) 可以合成如下图：

通过一系列的矩阵计算即可得到如此合成 \(SU(4)\) 矩阵所需的一系列参数，这部分的细节可以参见^[3]。

基本用法¶

UnitaryDecomposition 的可选参数如下：

include_phase_gate：是否将全局相位作为一个 GPhase 门包含于合成电路中：若为 true ，则返回 gates, None ；若为 false ，则返回 gates, phase 。默认为 false ；
recursive_basis：基于量子 Shannon 分解的递归合成过程在何时结束，若为 1 ，则不引入 Cartan KAK 分解；若为 2 ，则对 \(SU(4)\) 矩阵采取 Cartan KAK分解并对应进行优化。默认为 2 。

代码实例¶

from QuICT.qcda.synthesis import UnitaryDecomposition

UD = UnitaryDecomposition()
gates, _ = UD.execute(mat)

所得 gates 即对应于酉矩阵 mat 的量子电路，这里以 CompositeGate 的形式返回，以下给出了一个随机 \(SU(8)\) 矩阵对应的 3-qubit 量子电路：

参考文献¶

[1] Shende, V.V., Bullock, S.S., & Markov, I.L. (2006). Synthesis of quantum-logic circuits. IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, 25, 1000-1010. https://arxiv.org/abs/quant-ph/0406176

[2] Vatan, F., & Williams, C.P. (2003). Optimal quantum circuits for general two-qubit gates. Physical Review A, 69, 32315. https://arxiv.org/abs/quant-ph/0308006

[3] Drury, B., & Love, P.J. (2008). Constructive quantum Shannon decomposition from Cartan involutions. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 41, 395305. https://arxiv.org/abs/0806.4015