Clifford 电路合成与 symbolic 优化¶

Clifford 电路要求其中只包含 CX，H，S，S_dagger，X，Y，Z 这7种门。 Clifford 群是 Pauli 群的稳定化子 (stabilizer) ，在量子误差修正中有重要的作用。

算法原理¶

此算法由两个部分组成，即基于 Pauli 群作用效果的 Clifford 电路合成以及基于 symbolic 门的 Clifford 电路优化。

基于 Pauli 群作用效果的 Clifford 电路合成¶

合成基于如下的引理^[1]：

设有一对 \(n\) -qubit 反对易 Pauli 算符 \(O, O'\) ，则存在一个 \(n\) -qubit Clifford 电路 \(L\) 满足：

\[ L^{-1} O L = X_1, \quad L^{-1} O' L = Z_1 \]

其中 \(X_1, Z_1\) 分别表示仅在第一个qubit上为 \(X, Z\) ，其他为 \(I\) 的Pauli算符。

那么设原电路为 \(C\) ，取：

\[O = C^{-1} X_1 C, \quad O' = C^{-1} Z_1 C\]

应用以上引理，则对于 \(C_1 = L^{-1} C\) 有：

\[C_1 X_1 = X_1 C_1, \quad C_1 Z_1 = Z_1 C_1\]

因此 \(C_1\) 在第一个 qubit 上的作用是平凡的，如此递归即可合成电路 \(C\) 。显然在以上过程里 qubit 的顺序是不重要的，对这一顺序的贪心选择（基于对应的子电路 \(L\) 大小）或是随机选择都是可行的。

进一步地，对应于任意一对 \(n\) -qubit反对易 Pauli 算符 \(P, P'\) ，考虑对

\[ O = C P C^{-1}, \quad O' = C P' C^{-1} \]

和 \(P, P'\) 分别应用引理得到两个子电路 \(L, R\) ，其中 \(R\) 满足：

\[ P = R^{-1} X_1 R, \quad P' = R^{-1} Z_1 R \]

则 \(C_1 = L^{-1} C R^{-1}\) 在第一个 qubit 上的作用即是平凡的。注意到取 \(P = X_1, P' = Z_1\) 即退化为前一种方法，通过遍历（显然复杂度会因此显著上升）或是随机选取这样的 \(P, P'\) 即可对 qubit 递归地合成电路 \(C\) 。

基于 symbolic 门的 Clifford 电路优化¶

这一优化的基本思路是 CNOT 门的如下表达式：

\[ CNOT = |0⟩⟨0| \otimes I + |1⟩⟨1| \otimes X = \sum_v |v⟩⟨v| X^v \]

以此种方式即可将 CNOT 门“临时”转化为 symbolic X 门局部地与 1-qubit 门进行交换合并等操作以求减少 CNOT 门数量（但是有可能以 1-qubit 门数量为代价），以下给出了原论文中的一个例子。

接下来需要解决的问题是将哪些 CNOT “临时”转化为 symbolic X 门，这里的做法是取一些 qubit 作为控制集合 (control set) ，跨越控制集合和非控制集合的 CNOT 门将被临时“分离”。

基本用法¶

CliffordUnidirectionalSynthesizer 与 CliffordBidirectionalSynthesizer 分别对应于原理部分所述两种基于 Pauli 群作用效果的 Clifford 电路合成。

CliffordUnidirectionalSynthesizer 可以设定 strategy 参数，即原理部分所述对 qubit 的贪心 greedy 或随机 random 策略，默认为 greedy 。

CliffordBidirectionalSynthesizer 则可以设定 qubit_strategy 和 pauli_strategy 两个参数，其中 qubit_strategy 与 CliffordUnidirectionalSynthesizer 完全一致，而 pauli_strategy 则对应于原理部分所述对 Pauli 算符 \(P, P'\) 的遍历 brute_force 或随机 random 选取，默认为 random 。除此之外，由于 brute_force 方法耗时过长，在实现中内置了与 multiprocessing 模块相关的多进程运行代码，亦可调整相关参数。

SymbolicCliffordOptimization 对应于原理部分所述基于 symbolic 门的 Clifford 电路优化，可以依据电路特征自定义一系列控制集合 control_sets 供算法选择。算法默认的 control_sets 是全体 2-qubit 组合的列表。

代码实例¶

from QuICT.core import Circuit
from QuICT.core.gate import GateType
from QuICT.qcda.synthesis import CliffordUnidirectionalSynthesizer
from QuICT.qcda.optimization import SymbolicCliffordOptimization

CLIFFORD_GATE_SET = [
    GateType.x, GateType.y, GateType.z, GateType.h, GateType.s, GateType.sdg, GateType.cx
]
circ = Circuit(5)
circ.random_append(50, CLIFFORD_GATE_SET)

CUS = CliffordUnidirectionalSynthesizer()
SCO = SymbolicCliffordOptimization()
circ_syn = CUS.execute(circ)
circ_opt = SCO.execute(circ_syn)

circ_syn.draw('command', flatten=True)
circ_opt.draw('command', flatten=True)

如此即可先将 Clifford 电路 circ 先重新合成为等价电路 circ_syn ，再通过 symbolic 优化将合成后的电路优化为 circ_opt ，以下给出了一个随机 Clifford 电路及其经过合成和优化后得到的电路。自然，这两个方法亦均可独立使用。

原随机电路：

经过合成后的电路：

优化后的电路：

参考文献¶

[1] Bravyi, S., Shaydulin, R., Hu, S., & Maslov, D.L. (2021). Clifford Circuit Optimization with Templates and Symbolic Pauli Gates. Quantum, 5, 580. https://arxiv.org/abs/2105.02291