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量子态制备

量子态制备 (Quantum State Preparation) 算法针对输入的态向量 (state vector) 返回对应的量子电路，使得从 \(|0⟩\) 态出发经过该电路后可以得到目标态向量。这是一些量子算法的第一步，亦可视作量子酉矩阵合成的一种特殊情形（即仅给定第一列时的合成）。

QuICT 中目前共实现了3种不同的初态制备算法，其中2种针对一般的量子态，余下1种针对稀疏量子态。

算法原理

基于 uniformly 控制门的一般量子态制备

考虑量子态制备的逆过程，即将一个给定量子态经过某一电路转化为 \(|0⟩\) 态。注意到 uniformly 控制门实际上就是分块对角门，容易想到可以在局部进行旋转操作 \(U\) 使得

\[ U |\psi_n⟩ = |\psi_{n - 1}⟩ \otimes |0⟩ \]

其中 \(|\psi_n⟩\) 为 \(n\) -qubit 初始量子态， \(|\psi_{n - 1}⟩\) 为某个 \((n - 1)\) -qubit 量子态，这样就完成了所需的递归制备步骤。

具体说来，算法首先使用一系列 uniformly-Rz 门将态向量逐步变为实向量（相差一个全局相位意义下），再用一系列 uniformly-Ry 门将实态向量逐步消为 \(|0⟩\) ，最后将所有步骤取逆即可。如此进行制备的电路图如下图右半部分所示（由于原文意在给出从一个任意态到另一任意态的制备电路，因此左半部分是从某一任意态变为 \(|0⟩\) 的电路）

uniformly门制备

图片引用自Transformation of quantum states using uniformly controlled rotations. [1]

基于酉矩阵分解的一般量子态制备

为叙述方便，这里主要讨论目标态 qubit 数为偶数的情形，奇数情形是完全类似的。首先对目标态进行 qubit 对半分开的 Schmidt 分解如下：设 qubit 数 \(n = 2k\) ，则有

\[ |\Psi⟩ = \sum_{i = 0}^{2^k - 1} \alpha_i |\psi_i⟩ |\phi_i⟩ \]

据此经由如下三步即可得到目标态：

  1. 通过基于 uniformly 控制门的量子态制备过程在前半 qubit 上制备 \(|\alpha⟩\) 态，即：

    \[ |0⟩^{\otimes 2k} \to \sum_{i = 0}^{2^k - 1} \alpha_i |i⟩ |0⟩ \]

  2. 通过一系列 CNOT 门复制 \(|\alpha⟩\) 态到后半 qubit ，即：

    \[ \sum_{i = 0}^{2^k - 1} \alpha_i |i⟩ |0⟩ \to \sum_{i = 0}^{2^k - 1} \alpha_i |i⟩ |i⟩ \]

  3. 通过酉矩阵分解将前后两半 qubit 分别转化到对应的态上，即分别：

    \[ |i⟩ \to |\psi_i⟩, \quad |i⟩ \to |\phi_i⟩ \]

下图给出了 \(n = 4\) 时电路的结构（仅包含 CNOT 门）

酉矩阵分解制备

图片引用自Quantum-state preparation with universal gate decompositions. [2]

稀疏量子态制备

对于稀疏量子态，依然采用考虑制备逆过程的方法，此时的主要问题如何在不影响其他态向量元素的情况下“合并”态向量中的两个元素。举例来说，设初始态为：

\[ |\psi⟩ = \alpha |x⟩ + \beta |y⟩ + \gamma |z⟩ \]

其中 \(x, y, z\) 分别是一些 \(0, 1\) 串表示对应的计算基态。现在想要“合并” \(|x⟩, |y⟩\) ，直接的想法是通过一系列 CNOT 门使得量子态转化为：

\[ |\psi'⟩ = \alpha |x'⟩ + \beta |y'⟩ + \gamma |z'⟩ \]

其中 \(|x'⟩, |y'⟩\) 只在一个 qubit 上 \(0, 1\) 情况不同，从而可以通过 1-qubit 门将其进行“合并”。但是通常这会造成 \(|z'⟩\) “分裂”为某两个计算基态的叠加，因此我们需要通过一定的控制来解决这一问题。

为方便进行控制，这里采用的“合并”矩阵为：

\[ M = \begin{pmatrix} \sin\omega & e^{i\alpha} \cos\omega \\ e^{-i\alpha} \cos\omega & -\sin\omega \\ \end{pmatrix} \]

这样的多控制 \(M\) 门只需一个多控 Toffoli 门和两个 1-qubit 门即可实现。显然选择“合并”的顺序会极大影响算法的执行效果，这里不再详述具体选择的细节，可以参见[3]。

基本用法

一般量子态制备

在 QuantumStatePreparation 中选择需要使用的制备方法即可，可选 'uniformly_gates' ， 'unitary_decomposition' ，默认为 'unitary_decomposition' 。

稀疏量子态制备

在 SparseQuantumStatePreparation 中可以选择初态的输入格式： state_vector 即标准的态向量输入； state_array 要求输入一个 dict ，其 key 为态向量非零位置的二进制 str ， value 为对应位置的振幅。

代码实例

一般量子态制备

from QuICT.qcda.synthesis import QuantumStatePreparation

QSP = QuantumStatePreparation('uniformly_gates')
gates = QSP.execute(state_vector)

4-qubit 随机初态获得的制备电路如下：

制备电路

from QuICT.qcda.synthesis import QuantumStatePreparation

QSP = QuantumStatePreparation('unitary_decomposition')
gates = QSP.execute(state_vector)

4-qubit 随机初态获得的制备电路如下：

制备电路

稀疏量子态制备

from QuICT.qcda.synthesis import SparseQuantumStatePreparation

sparseQSP = SparseQuantumStatePreparation('state_vector')
gates = sparseQSP.execute(state_vector)

4-qubit 随机初态，其中只有4个非零元素获得的制备电路如下：

制备电路

参考文献

[1] Möttönen, M., Vartiainen, J.J., Bergholm, V., & Salomaa, M.M. (2005). Transformation of quantum states using uniformly controlled rotations. Quantum Inf. Comput., 5, 467-473. https://arxiv.org/abs/quant-ph/0407010v1

[2] Plesch, M., & Brukner, V. (2011). Quantum-state preparation with universal gate decompositions. Physical Review A, 83, 032302. https://arxiv.org/abs/1003.5760

[3] Gleinig, N., & Hoefler, T. (2021). An Efficient Algorithm for Sparse Quantum State Preparation. 2021 58th ACM/IEEE Design Automation Conference (DAC), 433-438. https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/9586240/metrics